Suite convergente

Définition

Définition :
Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ une suite réelle
On dit que $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge (ou tend) vers $\ell\in\Bbb R$ si $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in\Bbb N,\forall n\in\Bbb N,\quad n\geqslant N\implies\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$$
On note $\underset{n\to+\infty}\lim u_n=\ell$ ou $u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell$
(//Limite)
Remarque : $${{\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon}}\iff{{ u_n\in]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[}}$$ Proposition :
Toute suite convergente est bornée
(Suite bornée)
Propriété élémentaire des suites réelles :

$(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge

$$\Huge\iff$$

$(u_n)_{n\in\Bbb N}$ est bornée

Suite divergente
Limite à gauche - Limite à droite
Limite inférieure - Limite supérieure

Théorèmes et opérations sur les limites

Unicité de la limite
Suite extraite - Sous-suite, Valeur d'adhérence
Théorème de convergence monotone (suites)
Opérations sur les limites
Croissances comparées
Théorème de Bolzano-Weierstrass
Suite de Cauchy

Suites telles que $\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\lt 1$

Théorème :
Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ une suite réelle et supposons $\exists n_0\in\Bbb N,\exists0\lt \ell\lt 1$ tels que pour tout $n\gt n_0$, $u_n\neq0$ et $\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\leqslant\ell$
Alors $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ converge et $\underset{n\to+\infty}\lim u_n=0$ Corollaire :
Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ une suite tellequ'il existe $n_0\in\Bbb N$ tel que $(n\geqslant n_0\implies u_n\neq0)$ et $\underset{n\to+\infty}\lim\frac{u_{n+1} }{u_n}=0$
Alors $\underset{n\to+\infty}\lim u_n=0$
Théorème :
Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ une suite réelle
Supposons qu'il existe $n_0\in\Bbb N$ et $\ell\gt 1$ tels que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\neq0$ et $\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\geqslant\ell$
Alors $\underset{n\to+\infty}\lim u_n=+\infty$

Formules

$${{\left(1+\frac an\right)^n}}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} {{e ^a}}$$
(Fonction exponentielle)

Exercices

Soient $u_1\gt 0$ et $$u_{n+1}=\frac{u_n}n+\frac1{n^2}$$ étudier la convergence de la suite $(u_n)_n$

Si la suite converge, alors elle n'a qu'une seule limite possible
Si la suite converge, alors sa limite est nulle (trivial)

Majorer la suite (en étudiant le cas où elle est supérieure à une valeur intéressante)
S'il existe $n\geqslant3$ tel que $u_n\gt \frac12$, alors $$\frac{u_n}n+\frac1{n^2}=u_{n+1}\lt \frac{u_n}2+\frac1{n^2}\leqslant u_n$$

En effet, s'il y a un terme supérieur à cette valeur, alors le prochain terme est inférieur
Et donc la suite décroit tant $u_k\gt \frac12$ et si $u_n\lt \frac12$, alors $$u_{n+1}\leqslant\frac1{2n}+\frac1{n^2}\leqslant\frac16+\frac19\lt \frac12$$

Donc suite bornée, donc converge vers $0$
On en déduit que $u$ est bornée, puis que $u$ converge vers $0$

Multiplier la déf de $u_{n+1}$ par un terme semblable à $n$ et vérifier que ça tend vers $0$ $\to$ petitot
Puis $$(n+1)u_{n+1}=\frac{n+1}{n}u_n+\frac{n+1}{n^2}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$ donc $u_n=o\left(\frac1n\right)$

Donc on peut virer le terme qui dépend de $u_n$ et faire un équivalent en fonction de $n$

Et donc $$u_{n+1}=\frac1{n^2}+o\left(\frac1n\right)\sim\frac1{n^2}$$

Math'φsics

Formulaire de report

Définition

Théorèmes et opérations sur les limites

Suites telles que \(\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\lt 1\)

Formules

Exercices